平行线等分线段定理(平行线分线段成比例定理的证明)
角平分线的平分线比例定理
解题大赛原型题证明简述。
主题
如图,AE在E点平分BAD交叉ABD的边BD,证明AB/AD=be/de。
方法1
根据角平分线的性质,两个高EF和EG相等,
ABE的面积分别表示为AB和BE,
ADE的面积分别以AD和DE为基数表示。
用SABE/SADE=AB/AD=BE/EG的面积比得出结论。
方法2
画一个外接圆,然后用三角形相似度得出结论。
先证明ABEDCE,ADEBCE,
得到ab/DC=AE/de,ad/BC=AE/be,
变形的ab de=AE DC=AE BC=ad be,
那么ab/ad=be/de。
方法3
制作平行线:
通过点e为EFAB,得到BE/DE=AF/DF,
根据BAE=DAE,
很容易得到EAF=AEF,即AEF为等腰三角形。
AF被EF取代
根据DEFDBA,
EF/DF=AB/AD,
那么就可以得到ab/ad=be/de。
备注:做平行线有6种方法,分别是通过B点、D点或e点做平行线。
方法4
制作两条平行线:
及格点e是EFAB,EGAD,
容易得到的四边形AGEF是菱形的,那么ef=eg,
根据BGEEFD,
然后根据DEFDBA,得到
EF/DF=AB/AD,
那么就可以得到ab/ad=be/de。
方法5
在AB上取一个点f,这样af=ad,连接EF,
f点做FGAD,g点做横AE,
根据同余,很容易得到ef=de,ef=af=ad。
AEF=AED=BEG,
然后AEB=AEFBEF=BEGBEF=FEG,
根据g=DAE=BAE,证明了ABEGFE。
那么ab/gf=be/Fe=be/de,
那么就可以得到ab/ad=be/de。
法律6
根据正弦定理:
AB/sin3=BE/sin1,
那么ab/be=sin <3/sin <1,
AD/sin4=DE/sin2,
因为1=2,sin1=sin2。
因为34=180,
所以sin3=sin4,
因此ab/ad=be/de。
备注:证明正弦定理不难,可以简单的用面积关系或三角函数的定义来证明。
这个问题还有很多其他的解决方法。我们自己探索吧。