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平行线等分线段定理(平行线分线段成比例定理的证明)

角平分线的平分线比例定理

解题大赛原型题证明简述。

主题

如图,AE在E点平分BAD交叉ABD的边BD,证明AB/AD=be/de。

方法1

根据角平分线的性质,两个高EF和EG相等,

ABE的面积分别表示为AB和BE,

ADE的面积分别以AD和DE为基数表示。

用SABE/SADE=AB/AD=BE/EG的面积比得出结论。

方法2

画一个外接圆,然后用三角形相似度得出结论。

先证明ABEDCE,ADEBCE,

得到ab/DC=AE/de,ad/BC=AE/be,

变形的ab de=AE DC=AE BC=ad be,

那么ab/ad=be/de。

方法3

制作平行线:

通过点e为EFAB,得到BE/DE=AF/DF,

根据BAE=DAE,

很容易得到EAF=AEF,即AEF为等腰三角形。

AF被EF取代

根据DEFDBA,

EF/DF=AB/AD,

那么就可以得到ab/ad=be/de。

备注:做平行线有6种方法,分别是通过B点、D点或e点做平行线。

方法4

制作两条平行线:

及格点e是EFAB,EGAD,

容易得到的四边形AGEF是菱形的,那么ef=eg,

根据BGEEFD,

然后根据DEFDBA,得到

EF/DF=AB/AD,

那么就可以得到ab/ad=be/de。

方法5

在AB上取一个点f,这样af=ad,连接EF,

f点做FGAD,g点做横AE,

根据同余,很容易得到ef=de,ef=af=ad。

AEF=AED=BEG,

然后AEB=AEFBEF=BEGBEF=FEG,

根据g=DAE=BAE,证明了ABEGFE。

那么ab/gf=be/Fe=be/de,

那么就可以得到ab/ad=be/de。

法律6

根据正弦定理:

AB/sin3=BE/sin1,

那么ab/be=sin <3/sin <1,

AD/sin4=DE/sin2,

因为1=2,sin1=sin2。

因为34=180,

所以sin3=sin4,

因此ab/ad=be/de。

备注:证明正弦定理不难,可以简单的用面积关系或三角函数的定义来证明。

这个问题还有很多其他的解决方法。我们自己探索吧。

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