二次函数顶点公式(二次函数顶点坐标公式初中)
高中数学闭区间二次函数的最大值
二次函数是最简单的非线性函数之一，常被用作其他函数的载体。二次函数在一定区间内的最大值问题，随着区间的确定或改变，系数中加入参数。
1.确定区间上确定二次函数的最大值
给出了二次函数，给定的域区间也是固定的。我们把这种情况称为“固定区间内二次函数的最大值”。
例1。区间内函数的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
解：函数是定义在区间上的二次函数。它的对称轴方程是顶点坐标为(2，2)，图像开口向下。显然，它的顶点横坐标在[0，3]上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。
图1
例2。知道了，求函数的最大值。
解：已知可用，即函数是定义在区间上的二次函数。二次函数用对称轴方程和顶点坐标公式化，图像开口朝上。显然，它顶点的横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
图2
解后反射：已知二次函数，它的像是一个有顶点，对称轴，向上开口的抛物线。上的最大值或最小值可以通过数字和形状的组合获得：
(1)当时，的最小值为，最大值为的较大值。
(2)何时
如果，从顶部增加功能
的最小值为，最大值为
如果，从上往下是递减函数。
的最大值为，最小值为
2.固定区间上动态二次函数的最大值
二次函数随参数A的变化而变化，即其图像是运动的，但域区间是固定的。我们把这种情况称为“固定区间内动态二次函数的最大值”。
例三。知道了，求函数的最大值。
解：从已知的存在性出发，函数是定义在区间上的二次函数，得到公式如下：
二次函数的对称轴方程是
顶点坐标为，图像开口向上
很明显，它顶点的横坐标在区间的左端或左端。
函数的最小值为，最大值为。
图3
例4。已知区间内二次函数的最大值为5，是实数a的值。
求解：用二次函数公式化，对称轴方程为，顶点坐标为，图像开口方向由a决定，显然其顶点横坐标位于区间上。
如果函数图像的开口向下，如图4所示，则函数此时取最大值5
也就是
解决它
因此
图4
如果是，函数图像的开口向上，如图5所示，如果是，函数得到最大值5
也就是
解决它
因此
图5
综上所述，当函数在区间内达到最大值5时，
解后反射：例3中，二次函数的对称轴随参数a变化，但图像的开口方向是固定的；在示例4中，二次函数的对称轴是固定的，但是图像的打开方向随着参数A而改变.
3.确定移动区间上二次函数的最大值
二次函数是定的，但其定义域区间随参数t而变化，我们称之为“定函数在移动区间内的最大值”。
例5。如果函数是在区间上定义的，求最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为(1，1)，图像开口朝上。
如图6所示，如果顶点的横坐标在区间的左侧，则有。当为时，函数获取最小值
图6
如图7所示，如果顶点的横坐标在区间上，是，即。当为时，函数获取最小值
图7
如图8所示，如果顶点的横坐标在区间的右侧，是，即。当为时，函数获取最小值
总结一下讨论，
图8
例6。设函数的定义域为任意一个求函数最小值的解析公式。
解：公式二次函数得到：
对称轴方程为，顶点坐标为，图像开口朝上
如果顶点的横坐标在区间的右边，那么。当为时，函数获取最小值
为了总结讨论，我们必须
4.动态区间上动态二次函数的最大值
二次函数是带参数的函数，定义域区间也是变化的。我们把这种情况称为“动态区间内动态二次函数的最大值”。
例7。如果已知，当的最小值为4时，计算参数a的值。
解：将被代入S，得到
那么s是x的二次函数，它的定义域是，对称轴方程是，顶点坐标是，图像开口向上。
如果，那就是
然后当，
此时，或
如果，那就是
然后当，
这时，还是(因为放弃)
总而言之，参数a的值是、或、或
例8。如果已知，当的最小值为1时，计算参数a的值。
解决方法：代入P，得到
那么p是x的二次函数，它的定义域是，对称轴方程是，顶点坐标是，图像开口向上。
如果，那就是
然后当，
这时，
如果，那就是
然后当，
这时，还是(因为放弃)
总结一下讨论，
解后反射：例7中，二次函数对称轴变化；在例8中，二次函数的对称轴是固定的。
另外，如果函数图像的开口方向和对称轴不确定，且动态区间中包含的参数与确定的函数一致，可以采用先作用的方法。封闭区间内二次函数的最大值只能在区间的端点和顶点处得到，因此可以作为最大值来验证参数的合格性和进行取舍。
