讲解泛公式在不定积分中的应用

在求解不定积分中，对于只含正弦、余弦、正切、余切，而不含其他初等函数的被积函数，可以用泛公式将三角函数化为有理函数，然后求解不定积分。

1. 初用万能公式

将下列万能公式直接应用于练习1。

具体计算过程如下：

练习1通过通用公式快速求解。但是，如果没有观察和分析，盲目应用通用公式有时会使计算更加复杂，甚至得不到正确的计算结果。

2. 灵活运用万能公式

如果像练习1那样直接应用普适公式，会导致高阶、复杂的有理函数。

到了这一步，就很难走下去了。

其实在使用普适公式时，切记普适公式的目的是将三角函数的不定积分转化为低阶、不复杂的有理函数的不定积分。如果通过泛式变换得到的新的不定积分比较复杂，就要重新观察原来的不定积分：1)是否可以先拆分再用泛式；2)是否使用其他方法。

通过再次观察被积函数，可以将原不定积分分为两部分，一部分可以直接求出原函数，另一部分可以用普适公式求解。

3. 处理正切余切的被积函数

不定积分涉及正切余切函数时，首先将正切余切转化为正弦和余弦。

然后观察是否可以拆分。分裂的目的是把复杂的被积函数分裂成一个或几个简单的不定积分，容易得到，难以直接观察。显然，以上不定积分不应该拆分，直接应用普适公式计算。

毫无疑问，泛公式对解三角函数不定积分很有帮助。但必须注意以下三点。

1. 只有在被积函数只包含正弦、余弦、正切、余切函数，而不包含其他初等函数时，才可以用万能公式。

2. 在使用万能公式前，先观察，看原不定积分的被积函数能否拆分。拆分的目的是将通过观察就可以得出原函数的不定积分部分拆出去。

3. 当运用万能公式后，使得不定积分变成高次的、复杂的有理函数不定积分时，应优先考虑其他方法解决该不定积分。