等边三角形的判定(三角形中的重要线段)

数字随我走|北京中考重点难点——等边三角形(下)

导语

知识点梳理

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的特殊性体现在它的边、角和对称性上。

利用特殊的角度和线段构造等边三角形，然后利用等边三角形的性质来解决问题，是一种常见的技巧。

判定等边三角形的方法有：

1.从边开始，证明三条边相等；

2.从角度出发，证明三个角度相等或两个角度都是60；

3.从角开始，60的等腰三角形就是等边三角形。

熟悉以下基本图形及基本结论：

好题赏析

点击此处查看示例1-示例3的问题解决步骤

例4、如图1所示。已知ABC为等边三角形，点e在线AB上，点d在线BC上，ED=EC。围绕c点顺时针旋转BCE 60至ACF。努力证明：AB=DB AF。

类比探究：

(1)如图2所示，如果e点在线段AB的延长线上，其他条件不变，那么线段AB、DB、AF之间是什么关系？请说明理由。

(2)如果E点在线段BA的延长线上，其他条件不变，请完成图3基础上的图形，写出AB、DB、AF之间的数量关系。你不必写过程。

题目解析

第1问

根据题的意思，BCEACF，所以AF=BE，caf=CBA=60。因为ABC是等边三角形，所以ABC=BAC=60，所以EAF=Abd=120。因为ED=EC，EDBFEA，所以DB=AE。因为AB=AE EB，AB=DB AF。

第2问

因为bec=AFC=60-BCE，AFE=60-BCE 60=120-BCE。因为ED=EC，D=ECD，dec=180-2BCE。因为DEB=dec-bec=120-BCE，DEB=AFE。AF=BE，ED=CF，所以EDBFEA，所以AF=BE，DB=AE。如AE=AB BE，DB=AB AF。

第3问

结论：房颤=BD AB。

例5、如图，在等腰ABC中，AB=AC，顶角A=20，取边AB上的D点，使AD=BC，求BDC的度数。

题目解析

方法一：在ABC内构造等边BPC

因为PB=PC，AB=AC，AP是BC的垂直平分线，所以APC=150。因为AB=AC，A=20，ABC=ACB=80，ACP=20，DAC=ACP。交流是公共端，所以ADCCPA，所以ADC=APC=150，所以BDC=30。

方法二：以AC为边作等边三角形ACP，连接DP。

AC=AP，cap=60因为ACP是等边三角形，DAP=80因为AB=AC，BAC=20，ABC=ACB=80，所以ABC

例6、知道等边三角形ABC的边长是a，p是其中的任意一点，PDAB在d点，PEBC在e点，PFAC在f点.

验证：

(1)PD PE PF=；

(2)AD BE CF=；

题目解析

第1问：如图，连接PA，PB，PC。过点A作AGBC，垂足为G。

因为等边三角形一共有三条直线，BG=BC=A，成三个直角ABG，

因为

，所以PD PE PF=AG=。

第2问：过点P分别作AB，BC，AC的平行线。

根据平行四边形的判断，四边形ANPG、四边形BMPZ、四边形PXCH都是平行四边形。

PMN、PZX和PHG是等边三角形。因此，可以得到AN=CX，DN=DM，BZ=AG，ZE=EX，CH=BM，FH=FG。所以，AD BE CF=AD dn BZ ze ch FH=CX DM ag ex BM fg=BD EC af，所以AD BE CF=。

第3问：

从第二个问题、因此

所以。

第4问：连接PA，PB，PC。

因为、所以。

小结

掌握等边三角形的性质和判断是解决等边问题的基本要求。