棱锥体积公式(五角星面积公式怎么算)

刘徽与郑四棱柱体体积的计算。

数学教研书下图为一个四棱柱体，也叫平截头体，或称方亭。历史的许多数学家庭都研究过如何计算这种固体的体积。

(1)刘徽，我们古代的数学家族，用了一种巧妙的方法来计算它的体积。方法如下图所示。他把正四棱柱分解成九块(九和块之和等于原三维的体积，这是不言而喻的)，其中中间的一块是正四棱柱；左右两边是同一个四块的平直三棱柱(这里用“直”代替右，因为底三角形不是正三角形，而是侧边垂直于底，在刘徽的时代叫“切堵”；四块四角四座金字塔(底部为方形，一侧边与底部垂直，刘徽时代称之为“杨马”)。

正四棱柱和四个“切割塞”可以组合成一个长方体，如下图左图所示。让它的体积成为V1。四匹“杨马”可以用正金字塔(类似金字塔)拼写，如下图右侧所示。让它的体积成为V2。

因此，原来的四棱镜的体积等于V1V2。也就是

(2)上述公式的推导采用了金字塔体积公式，即底部面积乘以高度再除以3。但是，如果这个公式可以默认直接使用，我们可以有一个更简单的方法，而不用把它分成九个块。我们只需要在棱镜上加一块，使它成为一个规则的金字塔。因此，正四棱柱的体积等于新形成的大金字塔的体积减去补充物上的小金字塔的体积。如下图所示。

我们来计算正四棱镜的体积v。让添加的小金字塔的高度为h’。因此，我们可以通过以下计算来计算体积v:

(3)然而，为什么金字塔的体积是底部面积乘以高度再除以3？对此，刘辉也进行了深入的研究。像阿基米德一样，他使用了无穷小的概念。他们都涉及微积分。刘辉把所谓的“杨妈”分了，一直分，然后总结，取了极限。这里没有具体的解释，因为它需要一定的空间。但是在这里我给出了一个直观而迂回的方法来计算规则金字塔的体积。让你感受它的匠心。

首先，我们需要事先承认，两个相似固体的体积比是它们相似比的立方。例如，边长为1的立方体的体积为1；而边长是1的两倍，也就是2的立方体，它的体是(2/1)的三次幂，也就是8。长度为3的立方体的体积当然是3的三次幂，等于27。类似的金字塔也是如此。例如，关于本主题，如果底侧长度为1的规则金字塔的体积是1，那么与它相似但底侧长度为2的规则金字塔的体积是小金字塔体积的三倍，即8倍。然后，下面是间接求方金字塔体积的过程。

用平行于底面且高于线中点的平面切割一个规则的金字塔(中间切割)。因此，切割后的小规则金字塔的体积是原始规则金字塔的八分之一。

根据上述方法，剩余的四个棱镜被切成九块。这四个小“杨马”(下图中的CFGHK是一个)拼接成一个正金字塔，与切割的正金字塔完全相同(全等)，所以这两个相同的小正金字塔的体积之和(设为V3)是原来正金字塔体积的四分之一，即(1/4) v。

其余五块拼接成一个长方体，自然占原正棱锥体体积的四分之三，即(3/4) v .这个长方体的体积可以这样计算：它的长、宽、高分别为a、a/2(中间切开)和h/2。设这个长方体的体积V4。确实如此。