统计学基础(统计学基础知识归纳)

基础：的统计干货一种描述统计的数值方法。

位置的度量

1.平均数

采样平均

总平均

加权平均值

几何平均数

中位数

将数据按照从小到大排列：

对于偶数个观测值，中位数是中间两个数的平均值。

对于奇数个观测值，中位数是中间数。

方式

出现的数据最多，可能不止一个。

百分位

至少p%的数据小于或等于该值，并且至少1-p%的数据大于或等于该值。

将数据按照从小到大的顺序排列，并计算n*p%：

如果是整数，取这个值和下一个数字的平均值。

如果不是整数，则向上舍入。

中位数和四分位数是特殊的百分位数。

变异程度的度量

1.极差与四分位数间距

范围：最大值和最小值之间的差值。

分位数区间，IQR):四分位数之间的差异。

四分位数区间和四分位数区间都是衡量变异程度的简单指标。相比之下，极端范围更容易受到异常值的影响，因此经常使用四分位数范围。

2.方差与标准差

方差是对数据总体变异程度的度量。

总体差异：

样本方差：

样本的方差是无偏的。

无偏性：统计量估计值的平均值等于统计量。

证明：是总体平均值，是总体标准差。

用随机变量x，

确实如此。

同样，由于。

因此

标准差（s）：方差的算术平方根。

标准差系数（变异系数）：标准偏差除以平均值。

分布形态、相对位置度量以及异常值检测

1.分布形态的度量——偏度

如果存在偏度：随机变量的第三矩，偏斜度定义如下：

当偏差大于0时，称为右偏差，当偏差小于0时，称为左偏差。

2.切比雪夫定理

对于切比雪夫定理：,的任意分布，z标准差内数据与平均值的比例至少为1-1/z 2，其中z0。

切比雪夫定理来源于切比雪夫不等式：

或者

针对连续变量的切比雪夫不等式证明：

为了证明。

仅仅

也就是

因为

和

因此，原来的命题被证明了。

3.异常值检测

异常值检测有两种简单的方法：

1.z-score法

由于大部分日数据近似服从正态分布，从标准正态分布表可以看出，数据位于z=3以内的概率为99.87%，因此z位于该区间之外的数据被认为是异常值。

2.四分位数间距法

五数概括法和箱线图置的度量

1.五数概括法

用最大值和最小值的中间值以及上下四分位数汇总数据的方法。

2.箱线图

以上数据是一个城市100家餐厅的代表性美食价格和餐厅的质量评级。下面的方框图用来描述价格不同档次餐馆的分布情况。其中：

盒子里面：中间。

框的上边界：第三个四分位数Q3。

盒子的下边界：第一个四分位数Q1。

上边界线：最小值{最大值(X)，Q3 1.5IQR}。

下边界线：最大{最小值(X)，Q1-1.5智商}。

上下边界之外的点：异常值。

两变量之间关系的度量

1.协方差

协方差是两个随机变量之间线性相关性的度量。协方差的绝对值越大，两个随机变量之间的相关性越强。对于一组具有n个容量的数据，协方差为正数表明两随机变量正相关，协方差为负表明两随机变量负相关。观察到(X 1 Y 1)，(X 2 Y 2).(X ^ N ^ Y ^ N)，其协方差定义如下：

总体协方差：

类似的，样本协方差为：

样本协方差为总体协方差的无偏估计量，其证明如下：

2.相关系数

例如，如果将所有数据扩展5倍，线性相关性不会改变，但协方差的绝对值会增加。为了避免这种现象，我们使用相关系数来描述相关性。

协方差的问题在于受数据大小影响，

总体相关系数：

样本相关系数不是总体相关系数的无偏估计。

相关系数的范围为[-1，1]，其绝对值越接近1，线性相关性越强。

样本相关系数：

证明了易相关系数的取值范围为[-1，1]。

相关系数取值范围的证明：

构造一个永不为负的二次函数。

柯西-施瓦茨不等式简单证明：

原命题的证明。

作者：心里有点空白。

由于其恒为非负，故有判别式小于等于0，即：

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