海伦公式证明_海伦公式证明向量法

从一道习题谈三角形面积公式。

没事做练习，看到这样一个问题：

不禁想起一件往事，我记得当时也遇到过这样的问题。学生有几种做法，有的选择点到直线的距离得到高，有的选择距离公式得到三边的长度，然后用海伦秦九韶公式，有的选择余弦定理得到一角的余弦值，然后得到正弦值，最后得到面积。因为涉及的计算量，有的孩子做对了，有的孩子做错了，导致了错误的结果。

我记得我选择的是：

我记得当我给出答案的时候，学生们都快疯了。他们感到惊讶的原因是他们不熟悉三角形面积公式，所以今天我们将讨论三角形面积公式。

三角形是最简单也是最基本的多边形。因为它是所有多边形中唯一一个稳定的，所以我们的生活和数学有太多的三角形模型，因此，许多数学爱好者研究三角形。今天分享古人对三角形面积的研究如下：(我是知识的搬运工)。

公式1：

我们对这个公式并不陌生，从小学开始就接触到了。例如，许多学生选择这种方法来解决这个问题：

使用两点之间的距离来计算底边的长度，然后使用一点到一条直线的距离来计算高度。

公式2：

这个公式并不陌生，它是教科书中给出的一个公式。有同学选择这个公式来解题：先求三边的长度，然后用余弦定理求一个角的余弦值，再求这个角的正弦值，最后用公式来求解。

当然，我们可以利用公式2和正弦定理得到如下结果：

公式3：

公式4：

公式5：

公式6：

公式7：

公式8：

公式9：

公式10：

公式11：

其实这就是著名的秦公式，也叫三斜求积公式。

南宋家族秦(字，公元1202——1261)，与、杨辉、朱世杰齐名，也是宋元时期中国黄金时代的四大家族。

秦在名作《数书九章》卷五中提到的第二个问题是：“问沙田段，有三个斜坡(三角形的三条边)，小倾角13里，中倾角14里，大倾角15里，内法300步(每300步1里)。想知道场的几何形状吗？”"回答：田地是315公顷(每100英亩1公顷)."

“艺术说：求宽度小的，用小斜幂和大斜幂减去中间斜幂，剩下一半。自己繁殖；小斜次方乘以大斜次方，再减去上面的和剩下的四个，就是实数；从一个到另一个，把情节摆平。”

其实这里的三斜可以是任意一边，这就是我们秦的三斜求积公式。

公式12：

这其实就是秦公式的向量形式。

公式13：

这是我们熟悉的海伦公式。公元1世纪，希腊数学，的海伦在她的书《度量论》中给出了这个公式。这个公式简洁、对称、极具美感，深刻揭示了数学之美、数学之美

当然，据说这是海伦秦的公式，但我们知道秦的公式是上面提到的公式11，也叫三斜求积公式。这个公式是基于中国人的“毕达哥拉斯”思想，所以公式也有这种形式。我们可以稍微推导一下，发现海伦公式和秦公式是等价的。所谓英雄所见略同，引进海伦秦的公式不会被认为是一个迷途的木头。

在一本关于7世纪天文学的书中，土生土长的印度数学，人布拉莫古普塔给出了一个公式，用四条边的长度来表示内接四边形的面积：

这个公式似乎是海伦公式在形式和内容上的延伸和延伸。当然，这个公式只适用于刻有四边形的圆。

对于一般四边形，我们仍然有公式：

1842年，布雷-施诺德给出了四边两条对角线的四边形面积公式：

也可以看作是海伦公式的推广。

公式14：

这个公式展开式与海伦的公式展开式是一致的，这里就不做证明了。

公式15：

当初，边肖用这个公式让学生“疯狂”。

公式16：

三阶行列式的计算在前两天的法向量文章中已经解释过了，这里不再赘述。

三角形公式蕴含着丰富的数学思想和方法。只要勤于总结，善于思考，就能培养良好的学习习惯，培养学习数学，的兴趣，培养提高、数学解决问题的能力。