线性回归方程公式_线性回归方程公式推导
数学高中：最小二乘法和线性回归方程。
1.拟合直线的最佳方法是什么？3354接近于所有的点，也就是所有点的距离之和最小。
最小二乘法可以帮助我们在线性拟合中选择“最佳”直线。需要注意的是，在用实验数据拟合时，使用的数据量直接影响拟合结果。理论上，数据越多效果越好，即估计的线性方程能更好地反映变量之间的关系。一般我们可以对样本点做散点图来确认线性相关性，然后根据回归线性系数的公式进行计算。
2.表征采样点和直线y=a bx ——之间的“距离”。
思考：这个“距离”和点到直线的距离有什么关系？
显然，这个方程的值越小，采样点和直线之间的距离就越小。
(2)为什么不直接用点到直线的距离来描述样点与直线的距离关系？
3.最小二乘法。
如果有n个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x ^ n，y ^ n)，我们用下面的表达式来描述这些点离直线y=a bx有多近：
使上述公式达到最小值的直线y=a bx就是我们要求解的直线。这种方法叫做最小二乘法.
4.线性回归方程。
，其中。
这个线性方程叫做线性回归方程，A和B是线性回归方程的系数(回归系数)。
例1、推导2个样本点的线性回归方程
有两个点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)，用最小二乘法推导并分析了它们的线性回归方程。
通过最小二乘法设置解：，这样从采样点到直线的“距离和”为。
因此，可以知道当。
b有一个最小值。将
代入“距离和”的公式，把它看作关于B的二次函数，再用匹配的方法，我们就可以知道：
此时，线性方程为：
设AB的中点为m，则上述线性回归方程为：
可以看出，由两个样本点导出的线性回归方程是经过这两个点的直线方程。这和我们的理解是一致的：对于两个样本点，最佳拟合直线是经过这两个点的直线。
本文用最小二乘法直接推导出具有两个样本点的线性回归方程，主要是分别研究A和B的二次函数，并用匹配法求出其最大值和所需条件。其实这个公式是通过线性回归系数计算出来的：
线性回归方程可以如下获得：
设AB的中点为m，则上述线性回归方程为：
例2、求回归直线方程
硝酸钠溶出试验中，硝酸钠在不同温度下溶于100份水中的数据如下。
画一个散点图，找出它的回归线性方程。
在解：建立一个坐标系，并绘制如下散点图：
从散点图可以看出，两组数据是线性相关的。假设回归线方程为：
通过回归系数计算公式：
可以得出b=0.87，a=67.52，回归方程为y=0.87x 67.52。
例3、综合应用
假设某一设备的使用寿命x和维修费用y(万元)有以下统计数据：
(1)求回归线性方程；(2)使用10年预计维修费用是多少？
解：(1)让回归线性方程为：
(2)将x=10代入回归线性方程可以得到y=12.38，即10年的维修费用约为12.38万元。
